解开学生对理解事件六种关系的三个困惑

**学生问**老师C A ∪ B C A \cup BCA∪B时是否能得出P ( C ) P ( A ) P ( B ) P(C) P(A) P(B)P(C)P(A)P(B)我总觉得事件的相并运算又称为和运算也可对概率做和运算。**老师答**这可不一定。从图1也可以看出如果事件A和事件B存在重叠部分用P ( C ) P ( A ) P ( B ) P(C) P(A) P(B)P(C)P(A)P(B)会导致重复计算重叠部分的概率正确的公式应该为P ( C ) P ( A ) P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(C) P(A) P(B) - P(A \cap B)P(C)P(A)P(B)−P(A∩B)图1 事件之间的相并关系根据这个式子如果事件A和事件B没有交集则P ( A ∩ B ) 0 P(A \cap B) 0P(A∩B)0进而P ( C ) P ( A ) P ( B ) P(C) P(A) P(B)P(C)P(A)P(B)成立。**学生问**老师C A ∩ B C A \cap BCA∩B时我总觉得事件的相交运算又称为积运算是否能得出P ( C ) P ( A ) × P ( B ) P(C) P(A) \times P(B)P(C)P(A)×P(B)老师答这可不一定。如果两个事件之间存在关系则不能这么计算。只有当两个事件相互独立时才有P ( C ) P ( A ) × P ( B ) P(C) P(A) \times P(B)P(C)P(A)×P(B)。要想打好概率统计基础大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗欢迎给我留言讨论提出问题。**学生问**老师您说的相互独立又怎么理解是不是指的两个事件之间没有交集**老师答**我觉得不能这么理解。如果放到一个全集空间里来考察两个事件那么它们之间存在关系并不相互独立。如果不放到同一个全集空间里来考察两个事件那么它们之间当然相互独立如图2所示这时可以得出P ( C ) P ( A ) × P ( B ) P(C) P(A) \times P(B)P(C)P(A)×P(B)。图2 独立的两个事件举个例子如果把第1次抛硬币得到正面向上定义为事件A把第2次抛硬币得到正面向上定义为事件B显然这两次抛硬币的动作互不影响故它们相互独立。如果定义事件C CC为两次抛硬币都是正面向上可以得到P ( C ) P ( A ) × P ( B ) 0.5 × 0.5 0.25 P(C) P(A) \times P(B) 0.5 \times 0.5 0.25P(C)P(A)×P(B)0.5×0.50.25还有一点如果不放到同一个全集空间里来考察两个事件那么它们之间必然没有交集也即A ∩ B ∅ 。 A \cap B \varnothing 。A∩B∅。要想打好概率统计基础大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。学习有困难吗欢迎给我留言讨论提出问题。学习点拨请大家细心体会独立、“互斥”、互逆这些概念后续学习还将用到它们。互斥和独立的区别是很多初学者的难点和痛点请一定要掌握本节在前述答疑解惑中已经做出了说明。