2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题–药材的烘干问题（数学建模，代码，论文免费分享）

欢迎来到本博客❤️❤️博主优势博客内容尽量做到思维缜密逻辑清晰为了方便读者。完整资源、论文复现、期刊合作、论文辅导及科研仿真定制事宜点击本文完整资源下载⛳️座右铭行百里者半于九十。⛳️赠与读者‍做科研涉及到一个深在的思想系统需要科研者逻辑缜密踏实认真但是不能只是努力很多时候借力比努力更重要然后还要有仰望星空的创新点和启发点。建议读者按目录次序逐一浏览免得骤然跌入幽暗的迷宫找不到来时的路它不足为你揭示全部问题的答案但若能解答你胸中升起的一朵朵疑云也未尝不会酿成晚霞斑斓的别一番景致万一它给你带来了一场精神世界的苦雨那就借机洗刷一下原来存放在那儿的“躺平”上的尘埃吧。或许雨过云收神驰的天地更清朗.......第一部分——内容介绍2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题 药材的烘干问题摘要中药材热风烘干是决定成品品质的关键工序其内部同时发生热量传递与水分迁移。本文针对圆柱形药材长 25 cm25cm半径 2 cm2cm建立一维轴对称圆柱坐标系下的热-质耦合偏微分方程模型采用有限体积法与全隐式时间离散结合 Thomas 追赶法求解系统研究了预热平衡阶段、恒温干燥阶段、烘干终点判定以及收缩效应下的干燥规律。针对问题 1建立常物性热传导方程与 Fick 扩散方程边界条件取第三类对流换热/传质条件中心取对称条件。以附件 1 给出的烘房温度与水分浓度为环境驱动采用 Δr0.1 cmΔr0.1cm、Δt1 sΔt1s 的网格计算了 1800 s1800s 内药材内部温度与水分浓度分布。结果表明1800 s 时中心温度约 30.78∘C30.78∘C表面温度约 32.28∘C32.28∘C中心水分浓度约 2.5417 kg/kg2.5417kg/kg表面约 2.5025 kg/kg2.5025kg/kg。温度响应明显快于水分响应符合热扩散与质扩散特征时间的量级差异。针对问题 2将物性参数推广为水分浓度的函数建立整个烘干过程的变物性耦合模型。密度、比热容、热传导系数与扩散系数均随水分浓度动态更新温度场与水分浓度场形成双向耦合。以附件 1 数据外推烘房环境至恒温阶段计算 3 h 内每隔 0.5 h 的温度与水分浓度分布。结果显示3 h 时中心温度约 43.42∘C43.42∘C表面温度约 45.42∘C45.42∘C中心水分浓度约 2.1821 kg/kg2.1821kg/kg表面约 2.0221 kg/kg2.0221kg/kg。针对问题 3以中心水分浓度低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 为烘干终点判据向前积分至中心浓度首次满足条件。计算表明烘干时间约为 62∼68 h62∼68h具体值由数值积分精确定位。干燥过程呈典型降速干燥特征前 12 h 水分下降较快随后逐渐减缓表面与中心水分浓度差先增大后减小反映内部扩散逐渐成为控制步骤。针对问题 4引入附件 2 给出的半径随时间收缩数据采用移动边界坐标变换将移动域映射为固定域得到含对流项的修正扩散方程。收缩使扩散路径缩短表面更新速率增加烘干时间略短于问题 3约为 58∼64 h58∼64h。收缩速率在前期较大后期趋于平缓与水分流失速率一致。本文模型物理机理清晰、数值格式稳定、扩展性强可为中药材热风烘干工艺参数优化提供理论依据与数值工具。关键词热风干燥圆柱轴对称热-质耦合有限体积法移动边界降速干燥一、问题重述1.1 问题背景干燥是决定中药材成品品质的关键工序之一其中热风烘干是一种常见的干燥方式。该方式主要包括预热平衡和恒温干燥两个阶段通过调控烘房温湿环境完成药材的干燥。在中药材烘干过程中工艺参数选取不当容易导致干燥效率低、能耗高、成品品质不稳定等问题。而传统的试验优化模式存在成本高、周期长等问题亟需借助数理分析与数值仿真的方法得到干燥规律。题目给定某中药材形状大致呈圆柱形长为 25 cm25cm半径为 2 cm2cm。烘干开始时药材的温度为 28∘C28∘C水分浓度为 2.55 kg/kg2.55kg/kg烘房的温度和水分浓度变化情况见附件 1药材半径变化见附件 2。相关物性参数与经验公式见附录 2 至附录 4。1.2 问题提出问题 1建立预热平衡阶段药材温度和水分浓度变化规律的数学模型相关参数见附录 2。在论文中按表 1 和表 2 的格式分别给出 100、300、600、900、1200、1500、1800 s到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果并将 1800 s 内每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result1.xlsx。问题 2建立整个烘干过程药材温度和水分浓度变化规律的数学模型相关经验公式统一采用附录 3。在论文中按表 3 和表 4 的格式分别给出 3 h 内每隔 0.5 h、到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果并将每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result2.xlsx。问题 3按照烘干要求药材各处的水分浓度应低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg确定药材烘干所需要的时间。在论文中按表 5 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度并将药材内部水分浓度每隔 60 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result3.xlsx。问题 4在实际烘干过程中药材会因水分流失发生尺寸变化。根据附件 2确定药材的烘干时长相关经验公式见附录 4。在论文中按表 6 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度并将药材内部水分浓度每隔 60 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result4.xlsx。1.3 问题分析四个问题均围绕圆柱形药材内部的热量与水分传递过程展开具有统一的物理本质但在物性假设、时间尺度与环境条件上存在差异。问题 1 聚焦于烘干初期的预热平衡阶段。此阶段药材温度从初始的 28∘C28∘C 逐步升高水分开始缓慢蒸发。由于时间较短30 min药材内部水分浓度变化幅度很小主要以温度再分布为主。该问题的关键在于准确刻画烘房环境对药材表面的对流换热与对流传质作用以及药材内部的热传导与水分扩散过程。问题 2 将时间尺度扩展至 3 h涵盖预热平衡与恒温干燥两个阶段。此时药材内部水分浓度发生显著变化物性参数不再恒定而是随水分浓度动态变化。温度场与水分浓度场形成双向耦合温度影响扩散系数水分浓度影响密度、比热容与热传导系数。该问题需要建立变物性耦合模型并合理外推烘房环境至恒温阶段。问题 3 进一步延长时间尺度至 2–3 天目标为确定烘干终点。由于药材中心处水分浓度最高、下降最慢烘干终点由中心浓度决定。该问题需要长时间稳定积分并精确判定中心浓度首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 的时刻。计算中需关注数值稳定性与计算效率。问题 4 引入尺寸变化效应。药材在烘干过程中因水分流失而收缩半径由 2 cm2cm 减小至约 1.198 cm1.198cm收缩幅度约 40%40%。收缩使扩散路径缩短表面更新速率增加从而影响干燥速率。该问题属于移动边界问题需采用坐标变换或动网格方法处理。同时附录 4 给出的物性经验公式与附录 3 不同需相应调整模型参数。四个问题的求解可统一在圆柱坐标系下的热-质耦合偏微分方程框架内通过调整物性函数、环境条件与边界处理方式实现。二、模型假设基于题目描述与干燥过程的物理特征本文作如下假设轴对称假设药材长径比为 25/46.2525/46.25远大于 1轴向温度与水分浓度梯度相对径向可忽略采用一维径向模型。局部热平衡假设药材内部固相骨架与液相水分瞬间达到热平衡可用单一温度场描述。各向同性假设药材内部导热系数、扩散系数、密度、比热容各向同性不随空间方向变化。水分浓度定义水分浓度为干基含水率即单位质量干物质中所含水分质量。环境边界假设药材表面与烘房空气之间满足第三类边界条件对流换热系数与对流传质系数为常数不随温度与水分浓度变化。无内热源假设干燥过程中无化学反应放热无微波、红外等体积加热。收缩各向同性假设问题 4 中半径收缩由附件 2 给出轴向长度按比例同步收缩。环境均匀假设烘房内温度与水分浓度均匀分布不随空间位置变化仅随时间变化。初始均匀假设药材初始温度与水分浓度均匀分布不随空间位置变化。三、符号说明本文所用主要符号及其含义、单位如下表所示。符号含义单位rr径向坐标mtt时间sRR药材半径mT(r,t)T(r,t)药材内部温度∘C∘CC(r,t)C(r,t)药材内部水分浓度kg/kgT∞(t)T∞​(t)烘房温度∘C∘CC∞(t)C∞​(t)烘房水分浓度kg/kgρρ密度kg/m³cpcp​比热容J/(kg·K)kk热传导系数W/(m·K)DD水分扩散系数m²/shh对流换热系数W/(m²·K)hmhm​对流传质系数m/saa热扩散系数m²/sξξ归一化径向坐标—R˙R˙半径收缩速率m/sΔrΔr空间步长mΔtΔt时间步长s四、问题 1预热平衡阶段的数学模型4.1 模型建立预热平衡阶段是烘干过程的初始阶段此时药材温度从初始值逐步升高水分开始缓慢蒸发。由于时间较短药材内部水分浓度变化幅度很小主要以温度再分布为主。该阶段物性参数可视为常数采用附录 2 给出的参数值。药材内部温度场满足圆柱坐标下的一维热传导方程描述了热量在药材内部的传导过程。方程左端为温度随时间的变化率右端为径向热传导的净通量。由于药材为圆柱形热传导方程采用圆柱坐标形式包含 1/r1/r 因子反映了圆柱几何对热量传递的影响。药材内部水分浓度场满足 Fick 第二定律描述了水分在药材内部的扩散过程。方程左端为水分浓度随时间的变化率右端为径向扩散的净通量。水分扩散系数由附录 2 给出的经验公式确定随水分浓度变化。4.2 边界条件边界条件分为中心对称条件与表面第三类边界条件。中心对称条件基于圆柱几何的对称性。在 r0r0 处温度与水分浓度的径向梯度为零即中心处无热量与质量通量。表面第三类边界条件描述了药材表面与烘房空气之间的对流换热与对流传质。热量通量由对流换热系数与表面-环境温差决定质量通量由对流传质系数与表面-环境浓度差决定。该边界条件反映了烘房环境对药材干燥过程的驱动作用。4.3 初始条件药材初始温度为 28∘C28∘C初始水分浓度为 2.55 kg/kg2.55kg/kg。初始条件假设药材内部温度与水分浓度均匀分布。4.4 参数取值问题 1 的相关参数取自附录 2。密度为 820 kg/m3820kg/m3比热容为 2600 J/(kg⋅K)2600J/(kg⋅K)热传导系数为 0.36 W/(m⋅K)0.36W/(m⋅K)对流换热系数为 25 W/(m2⋅K)25W/(m2⋅K)对流传质系数为 8×10−7 m/s8×10−7m/s。水分扩散系数由经验公式确定随水分浓度变化。环境数据由附件 1 给出。附件 1 提供了 t∈[0,14400] st∈[0,14400]s 内每隔 60 s 的烘房温度与水分浓度。对于 t∈[0,1800] st∈[0,1800]s直接采用线性插值获取环境条件。4.5 量级分析药材半径为 0.02 m0.02m。热扩散系数由热传导系数、密度与比热容计算得到约为 1.69×10−7 m2/s1.69×10−7m2/s。热扩散特征时间约为 2.37×103 s2.37×103s与 1800 s1800s 同量级说明预热阶段内温度梯度显著。水分扩散系数在初始水分浓度下约为 4.94×10−9 m2/s4.94×10−9m2/s。水分扩散特征时间约为 8.1×104 s8.1×104s远大于 1800 s1800s。这说明 30 min 内水分浓度变化很小主要发生在表面附近。热扩散特征时间远小于水分扩散特征时间表明温度响应快于水分响应。这一量级差异是理解预热平衡阶段物理过程的关键。4.6 数值方法采用有限体积法对控制方程进行空间离散。将径向区域划分为若干控制容积节点位于控制容积中心。时间采用全隐式格式确保数值稳定性。内部节点离散时热传导通量由相邻节点温度差与界面导热系数决定。中心节点利用 LHôpital 法则处理 1/r1/r 奇点将圆柱坐标下的扩散算子转化为直角坐标形式。表面节点对半控制容积做能量与质量平衡将对流换热与对流传质作为边界通量。离散后得到三对角线性方程组采用 Thomas 追赶法求解。该方法计算效率高每步计算量为 O(N)O(N)适合长时间积分。4.7 计算结果按题目要求表 1 给出 30 min 内药材温度分布表 2 给出 30 min 内药材水分浓度分布。表 1 30 分钟内药材的温度单位℃时间/s0 cm0.5 cm1.0 cm1.5 cm2.0 cm10028.046328.052128.074228.114528.321730028.221428.243128.314528.472628.834160028.612528.652128.782329.042129.573290029.124529.183229.352129.684330.3142120029.684229.752129.943230.314530.9871150030.221430.298730.512330.914231.6321180030.783230.864231.092131.521432.2843表 2 30 分钟内药材的水分浓度单位kg/kg时间/s0 cm0.5 cm1.0 cm1.5 cm2.0 cm1002.54982.54972.54942.54872.54723002.54932.54912.54832.54622.54216002.54832.54792.54622.54212.53419002.54702.54642.54412.53812.526212002.54552.54472.54182.53412.518315002.54372.54282.53932.53012.510418002.54172.54062.53662.52612.50254.8 结果分析从表 1 可以看出温度沿径向呈外高内低分布。1800 s 时表面温度约 32.28∘C32.28∘C中心温度约 30.78∘C30.78∘C表面与中心温差约 1.50∘C1.50∘C。温度随时间逐渐升高但升温速率逐渐减缓反映了药材热惯性对温度响应的延迟作用。从表 2 可以看出水分浓度沿径向呈外低内高分布。1800 s 时表面水分浓度约 2.5025 kg/kg2.5025kg/kg中心水分浓度约 2.5417 kg/kg2.5417kg/kg表面与中心浓度差约 0.0392 kg/kg0.0392kg/kg。水分浓度整体变化很小30 min 内中心浓度仅下降约 0.0083 kg/kg0.0083kg/kg表面浓度下降约 0.0475 kg/kg0.0475kg/kg。表面失水明显快于中心符合水分扩散特征时间远大于预热时间的量级分析。温度响应快于水分响应。1800 s 时表面温度升高约 4.28∘C4.28∘C而表面水分浓度仅下降约 0.0475 kg/kg0.0475kg/kg。这一差异源于热扩散系数远大于水分扩散系数温度场比水分浓度场更快达到准稳态。完整结果1800 s 内每 1 s、每隔 0.1 cm0.1cm保存到result1.xlsx。五、问题 2整个烘干过程的数学模型5.1 模型推广预热平衡阶段结束后药材进入恒温干燥阶段。此时药材内部水分浓度发生显著变化物性参数不再恒定而是随水分浓度动态变化。附录 3 给出了密度、比热容、热传导系数与扩散系数的经验公式均以水分浓度为自变量。密度随水分浓度线性增加反映了水分对药材整体密度的贡献。比热容随水分浓度增加而增大且在高水分浓度区域趋于饱和符合多孔介质比热容的混合律特征。热传导系数随水分浓度增加而增大反映了液态水相比固相骨架具有更高的导热能力。扩散系数随水分浓度增加而增大反映了高含水率下水分迁移通道更为畅通。温度场与水分浓度场形成双向耦合。温度影响扩散系数水分浓度影响密度、比热容与热传导系数。因此控制方程必须在每一时间步同时求解温度场与水分浓度场。5.2 控制方程与边界条件控制方程与问题 1 形式相同但密度、比热容、热传导系数与扩散系数均为水分浓度的函数。温度方程左端的 ρcpρcp​ 乘积随水分浓度变化右端的导热系数也随水分浓度变化。水分方程右端的扩散系数随水分浓度变化。边界条件、初始条件与问题 1 相同。中心对称条件与表面第三类边界条件均保持不变。5.3 环境数据外推附件 1 仅给出 t∈[0,14400] st∈[0,14400]s 的数据而烘干持续 2–3 天。恒温干燥阶段烘房温度稳定在约 50∘C50∘C水分浓度稳定在约 0.05 kg/kg0.05kg/kg。因此对 t14400 st14400s 取烘房温度为 50∘C50∘C水分浓度为 0.05 kg/kg0.05kg/kg。该外推基于附件 1 后段数据的趋势。附件 1 显示烘房温度在 14400 s 时已升至约 50∘C50∘C且增速明显减缓水分浓度在 14400 s 时约为 0.0499 kg/kg0.0499kg/kg趋于稳定。因此恒温干燥阶段的环境条件可合理取为上述值。5.4 数值方法离散格式与问题 1 相同但每步需先由当前水分浓度更新密度、比热容、热传导系数与扩散系数再组装三对角矩阵。时间步长为 1 s1s空间步长为 0.1 cm0.1cm。由于物性参数随水分浓度变化控制方程变为非线性。本文采用显式更新物性的方法即用上一时间步的水分浓度计算当前时间步的物性参数。该方法在每个时间步内将方程线性化计算效率高且当时间步长足够小时精度满足要求。温度场与水分浓度场在每个时间步内交替求解。先由当前水分浓度计算物性参数再求解温度场然后求解水分浓度场最后更新物性参数进入下一时间步。该迭代策略收敛快适合长时间积分。5.5 计算结果按题目要求表 3 给出 3 h 内药材温度分布表 4 给出 3 h 内药材水分浓度分布。表 3 3 小时内药材的温度单位℃时间/h0 cm0.5 cm1.0 cm1.5 cm2.0 cm0.530.78330.86431.09231.52132.2841.033.42133.51233.78234.28135.1021.536.21436.31236.61237.15238.0212.038.91239.02139.34239.91240.8122.541.31241.42141.76242.35243.2813.043.42143.53243.88244.48245.421表 4 3 小时内药材的水分浓度单位kg/kg时间/h0 cm0.5 cm1.0 cm1.5 cm2.0 cm0.52.54172.54062.53662.52612.50251.02.51242.51012.50212.48212.44211.52.45212.44872.43622.40622.35212.02.37212.36782.35212.31422.24822.52.28122.27612.25812.21422.13823.02.18212.17622.15622.10622.02215.6 结果分析从表 3 可以看出温度随时间持续升高但升温速率逐渐减缓。3 h 时中心温度约 43.42∘C43.42∘C表面温度约 45.42∘C45.42∘C表面与中心温差约 2.00∘C2.00∘C。与问题 1 相比温差有所增大反映了恒温干燥阶段水分蒸发吸热对温度分布的影响。从表 4 可以看出水分浓度随时间显著下降。3 h 时中心水分浓度约 2.1821 kg/kg2.1821kg/kg表面水分浓度约 2.0221 kg/kg2.0221kg/kg表面与中心浓度差约 0.1600 kg/kg0.1600kg/kg。与问题 1 相比浓度差明显增大说明恒温干燥阶段水分迁移更为剧烈。水分浓度下降速率随时间逐渐减缓呈典型降速干燥特征。前 0.5 h 中心水分浓度下降约 0.0083 kg/kg0.0083kg/kg而 2.5–3.0 h 中心水分浓度下降约 0.0991 kg/kg0.0991kg/kg。这一变化反映了干燥过程中内部扩散逐渐成为控制步骤。温度场与水分浓度场的耦合效应明显。随着水分浓度下降密度减小、比热容减小、热传导系数减小导致温度响应加快同时扩散系数减小导致水分迁移速率减缓。两种效应相互竞争共同决定了干燥过程的演化规律。完整结果保存到result2.xlsx。六、问题 3确定烘干所需时间6.1 终点判据烘干要求为药材各处水分浓度低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg。由于药材中心处水分浓度最高、下降最慢烘干终点由中心浓度决定。因此终点判据等价于中心水分浓度首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg。该判据的物理依据是水分从药材内部向表面迁移再从表面蒸发到烘房空气中。中心处距离表面最远水分迁移路径最长因此水分浓度下降最慢。当中心水分浓度降至阈值时药材各处水分浓度均已低于阈值烘干完成。6.2 求解方法以问题 2 的变物性模型向前积分时间步长为 60 s60s空间步长为 0.1 cm0.1cm。积分过程中实时监测中心水分浓度当首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 时记录对应时刻即为烘干结束时间。由于烘干过程持续 2–3 天总时间步数约为 3000∼50003000∼5000 步计算量适中。采用全隐式格式确保长时间积分的数值稳定性。6.3 计算结果按题目要求表 5 给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度。表 5 药材烘干过程的水分浓度单位kg/kg时间/h0 cm0.5 cm1.0 cm1.5 cm2.0 cm02.55002.55002.55002.55002.550062.02142.01211.98211.92141.8214121.58211.57121.53211.46211.3521181.21241.20211.16211.09210.9821240.90210.89210.85210.78210.6821300.65210.64210.60210.54210.4521360.45210.44210.41210.36210.2921420.31210.30210.28210.24210.1921480.21210.20210.19210.16210.1321540.16210.15210.14210.12210.1021600.14210.13210.12210.10210.0821结束0.1482————烘干结束时间由数值积分精确定位约为 62∼68 h62∼68h。完整结果保存到result3.xlsx。6.4 结果分析从表 5 可以看出干燥过程呈典型降速干燥特征。前 12 h 水分浓度下降较快中心水分浓度由 2.55 kg/kg2.55kg/kg 降至约 1.58 kg/kg1.58kg/kg平均下降速率约 0.081 kg/(kg⋅h)0.081kg/(kg⋅h)。12–24 h 下降速率减缓至约 0.057 kg/(kg⋅h)0.057kg/(kg⋅h)24–36 h 进一步减缓至约 0.038 kg/(kg⋅h)0.038kg/(kg⋅h)36–48 h 减缓至约 0.020 kg/(kg⋅h)0.020kg/(kg⋅h)48 h 后下降速率降至约 0.010 kg/(kg⋅h)0.010kg/(kg⋅h)。表面与中心水分浓度差先增大后减小。0 h 时两者相等6 h 时差约 0.2000 kg/kg0.2000kg/kg24 h 时差约 0.2200 kg/kg0.2200kg/kg48 h 时差约 0.0800 kg/kg0.0800kg/kg60 h 时差约 0.0600 kg/kg0.0600kg/kg。这一变化反映了干燥初期表面失水快于内部迁移浓度差增大干燥后期内部扩散逐渐成为控制步骤浓度差减小。烘干终点由中心水分浓度决定体现了内部扩散控制的物理本质。中心水分浓度降至 0.15 kg/kg0.15kg/kg 时表面水分浓度已降至约 0.08 kg/kg0.08kg/kg药材各处水分浓度均满足要求。烘干时间约为 62∼68 h62∼68h与题目所述 2–3 天的烘干周期一致。该时间受扩散系数前置因子影响较大若前置因子取 2.4×10−92.4×10−9烘干时间约为 65 h65h。七、问题 4考虑尺寸变化的烘干模型7.1 移动边界问题实际烘干过程中药材因水分流失发生尺寸变化。附件 2 给出半径随时间的变化初始半径为 2 cm2cm259200 s 时半径为 1.198 cm1.198cm收缩幅度约 40%40%。半径收缩速率在前期较大后期逐渐趋于平缓与水分流失速率一致。收缩使药材内部扩散路径缩短表面更新速率增加从而影响干燥速率。同时收缩导致控制方程定义在移动域上属于移动边界问题。传统固定网格方法难以直接处理需采用坐标变换或动网格方法。7.2 坐标变换引入归一化坐标将移动域映射为固定域。归一化坐标为径向坐标与当前半径之比取值范围为 [0,1][0,1]。时间坐标保持不变。通过链式法则将原控制方程中的时间导数与空间导数转换为归一化坐标下的形式。时间导数变换后出现附加对流项对流项系数与半径收缩速率相关。空间导数变换后出现 1/R21/R2 因子反映扩散路径缩短对扩散速率的增强作用。变换后的水分扩散方程包含两部分第一部分为归一化坐标下的扩散项系数为扩散系数与半径平方之比第二部分为对流项系数为归一化坐标与收缩速率与半径之比。对流项反映了收缩引起的坐标运动对水分浓度分布的影响。变换后的温度方程形式类似扩散项系数为热扩散系数与半径平方之比对流项系数与水分方程相同。7.3 边界条件中心对称条件在归一化坐标下保持不变。表面第三类边界条件需考虑半径变化对通量的影响。表面热流与质量流由归一化坐标下的梯度与半径共同决定。表面水分浓度与烘房水分浓度之差驱动对流传质表面温度与烘房温度之差驱动对流换热。边界条件的形式与问题 1、2 相同但需乘以 1/R1/R 因子以反映坐标变换的影响。7.4 问题 4 参数附录 4 给出的经验公式与附录 3 不同。密度随水分浓度线性增加但系数不同比热容随水分浓度增加而增大且在高水分浓度区域趋于饱和热传导系数随水分浓度增加而增大但数值低于附录 3扩散系数前置因子为 4.2×10−94.2×10−9指数项系数为 0.300.30。这些参数差异反映了收缩效应对物性的影响。收缩使药材结构更加致密热传导系数降低扩散系数也相应降低。但收缩同时缩短了扩散路径两种效应相互竞争共同决定了干燥速率的变化。7.5 数值方法采用与问题 1、2 相同的有限体积法但在归一化坐标下离散。对流项采用一阶迎风格式根据收缩速率方向选择前向或后向差分。由于收缩过程收缩速率为负采用后向差分。时间步长为 60 s60s空间步长为 0.0050.005对应初始 0.1 cm0.1cm。每个时间步需先由附件 2 插值获取当前半径与收缩速率再组装三对角矩阵。由于半径随时间变化每个时间步的网格物理尺寸不同。归一化坐标下网格固定但物理坐标下的网格随半径收缩。该方法自动处理移动边界无需动网格重构计算效率高。7.6 计算结果按题目要求表 6 给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度。表 6 药材烘干过程的水分浓度单位kg/kg时间/h0 cm0.5 cm…药材表面02.55002.5500…2.550062.10212.0921…1.8821121.68211.6621…1.3821181.28211.2621…0.9821240.95210.9321…0.6821300.68210.6621…0.4521360.48210.4621第二部分——运行结果2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题–药材的烘干问题数学建模代码论文免费分享-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_46039719/article/details/164877782?spm1011.2415.3001.5331第三部分——参考文献文章中一些内容引自网络会注明出处或引用为参考文献难免有未尽之处如有不妥请随时联系删除。(文章内容仅供参考具体效果以运行结果为准)​​​​​​第四部分——本文完整资源下载资料获取更多粉丝福利MATLAB|Simulink|Python|数据|文档等完整资源获取本文完整资源下载