動態比較器 Noise 測量筆記

動態比較器 Noise 測量筆記1. Comparator noise 是什麼Comparator noise 是電路內部 thermal noise、flicker noise 等隨機擾動 使比較器每次判決時的有效比較門檻產生變動。定義差動輸入與共模輸入Vd VIP- VINVCM (VIP VIN) / 2若保持共模不變差動輸入應設定為VIP VCM Vd/ 2VIN VCM- Vd/ 2Comparator 的等效輸入模型可寫成Veff Vd- VOS vn其中VOS該顆 comparator 的固定 input-referred offset。vn每次 comparison 都可能改變的隨機 input-referred noise。σnvn的標準差。通常將 noise 近似為 Gaussian distributionvn∼ N(0, σn2)因此noise 可以理解為比較器門檻在不同 comparison 之間的隨機變動教科書將 comparator 的 offset、noise、metastability、loading 與 kickback 分開討論 多級 comparator 中後級 noise 折算到輸入端時會受到前級增益平方抑制。2. Noise、offset 與其他誤差的差別項目性質主要量測結果Input-referred noise每次判決隨機變化CDF 寬度Single-instance offset同一顆 comparator 的固定門檻偏移CDF 中心Monte Carlo offset不同 mismatch instance 間的分布μOS、σOSKickback內部節點切換耦合回輸入輸入瞬間擾動Metastability在 deadline 前尚未解析完成unresolved probability、delaySampling noise取樣開關與電容產生kT/C noiseQuantization noiseADC 有限解析度造成LSB / √122.1 Offset 與 noise對固定的一顆 comparatorVOS 固定值但每一次 comparison 的 noise 為vn[1]、vn[2]、vn[3]、…因此Vthreshold[k] VOS- vn[k]Offset 會使整條 probability curve 左右平移noise 會使 transition region 變寬。3. Comparator 的判決機率假設輸出定義為D 1Vd- VOS vn 0D 0Vd- VOS vn≤ 0則輸出為 1 的機率為P(D 1 | Vd) Φ((Vd- VOS) / σn)其中 Φ(·) 是標準常態累積分布函數Φ(x) 1 / √(2π) ∫-∞xe-u²/2du也可寫成 error functionP(D 1 | Vd) 1/2 × [1 erf((Vd- VOS) / (√2σn))]若輸出極性定義相反曲線會由 1 降至 0但 noise 的計算方式不變。利用輸出平均值對輸入差建立 probability curve再由 Gaussian curve fitting 取得 noise 是 comparator noise 的標準量測概念。4. 如何由 CDF 取得 offset 與 noise4.1 V50當P(D 1) 0.5因為Φ(0) 0.5所以V50 VOS因此VOS,single V504.2 V84.13標準常態分布中Φ(1) 0.8413因此V84.13 VOS σn得到σn V84.13- V50輸出極性相反時可寫成σn |V84.13- V50|4.3 對稱式計算因為Φ(-1) 0.1587所以V15.87 VOS- σn因此更對稱的計算方式為σn |V84.13- V15.87| / 2而 offset 可由VOS≈ (V84.13 V15.87) / 2取得。這種方法可降低單側 interpolation error 對結果的影響。5. 完整 CDF fitting若對多個輸入點 Vd,i進行量測得到總 comparison 次數Ni輸出為 1 的次數Ki則P̂i Ki/ Ni模型為Pi Φ((Vd,i- VOS) / σn)可以透過 curve fitting 求出VOS及σn使用 binomial maximum likelihood 時log-likelihood 為ln L Σi[Kiln Pi (Ni- Ki) ln(1 - Pi)]最佳估計值為(V̂OS, σ̂n) arg maxVOS,σnln L完整 curve fitting 通常比只取 V50與 V84.13更穩定。6. 多級 comparator 的 input-referred noise假設 comparator 有 M 級各級增益為A1、A2、…、AM-1第 k 級在該級輸入端的 noise 為σn,k則整體折算到 comparator 輸入端的 noise power 可近似為σn,in2 σn,12 σn,22/ A12 σn,32/ (A1A2)2 …一般式為σn,in2 Σk1M[ σn,k2/ (∏j1k-1Aj)2]第一級前方沒有增益因此通常對 input-referred noise 最敏感。多一級 preamplifier 可以增加前級增益降低後級 latch offset 與 noise 折算至輸入端的影響 但新增級數也會增加 delay、內部電容與功耗。7. 哪些電路參數會影響 noise7.1 Input-pair transconductance一般而言gm↑ ⇒ σn↓提高 gm的方法可能包括增加 input pair 有效尺寸增加 evaluation current調整 overdrive voltage改善 input common-mode operating point。但同時可能造成input capacitance 增加internal-node capacitance 增加kickback 增加clock loading 增加power 增加。Hybrid 三級 comparator 論文指出input-referred noise 與 integration time、 input-pair transconductance 有直接關係因此高速與低 noise 之間存在明確 trade-off。7.2 Integration time設 comparator 從 evaluation 開始到判讀結果之間的有效時間為tint一般趨勢為tint↑ ⇒ σn↓但系統允許的 comparison time 通常有限。因此 noise 量測必須在實際系統使用的 decision time 讀取結果 不能任意延後到輸出完全穩定後才讀取。7.3 Common-mode voltageComparator noise 通常與VCM有關因為 VCM會改變input-pair currentgminternal-node discharge rateamplification timeregeneration delaydevice operating region。因此不能只在單一 VCM下量測後就假設整個輸入共模範圍都相同。7.4 Supply voltageVDD會影響input pair overdriveevaluation currentregeneration strengthreset completenessdelaynoisemetastability probability。因此 noise 必須與 supply corner 一起驗證。7.5 Temperature溫度會影響thermal noisemobilitythreshold voltagegmleakageregeneration speed。所以應驗證指定溫度範圍而不是只量室溫。7.6 Output load 與 internal parasitic負載增加會降低internal-node slew rateavailable integration timeregeneration speed。因此 schematic 與 PEX 的 noise 可能不同尤其是高速 dynamic comparator。8. Noise measurement 的基本 testbench8.1 輸入設定固定 common modeVIP VCM Vd/ 2VIN VCM- Vd/ 2掃描Vd∈ [Vd,min, Vd,max]掃描範圍必須涵蓋P(D 1) ≈ 0至P(D 1) ≈ 1的整個 transition region。8.2 每次 comparison 的判讀假設實際 evaluation 開始時刻為teval系統實際讀取 comparator 結果的時間為tread teval tdecision必須在t tread判斷輸出結果。不能在 evaluation edge 當下直接判讀因為此時 comparator 可能仍處於reset releaseamplificationregeneration initial phase。8.3 有效 comparison 次數若 comparator 的有效判決頻率為fdec而不是單純 clock frequency則Nvalid fdec(Tsim- Tdiscard)其中Tsim總模擬時間。Tdiscard初始化、startup 或 warm-up 時間。若每個 clock period 都只有一次有效判決fdec fCLK若不是每個 clock 都做有效比較則不能直接用 fCLK計算。9. 應該測量多少次對固定輸入 Vd輸出為 1 的估計機率為p̂ K / N其中K輸出為 1 的次數。N總有效 comparison 次數。若各次 comparison 近似獨立機率估計的標準差為σp̂ √[p(1 - p) / N]以量測值估算σ̂p̂ √[p̂(1 - p̂) / N]最差情況發生在p 0.5此時σp̂,max 1 / (2√N)9.1 依目標機率誤差決定樣本數若希望在 confidence level 1 - α 下機率估計誤差不超過εp則z1-α/2× √[p(1 - p) / N] ≤ εp最保守使用p 0.5得到N ≥ z1-α/22/ (4εp2)在 95% confidence level 下z0.975 1.96因此N ≥ 1.962/ (4εp2)也就是N ≥ 0.9604 / εp210. 應該模擬多久若每秒可取得fdec次有效 comparison而所需有效樣本數為 N則Tmeasurement N / fdec加入初始化時間Tsim Tdiscard N / fdec這是最基本的 simulation-time 公式。10.1 Multiple Runs若使用 R 次不同 noise realization每個 run 有Nrun次有效 comparison則總樣本數為Ntotal R × Nrun每個輸入點的總成功機率應由成功次數合併p̂ (Σr1RKr) / (Σr1RNr)只有當每個 run 的 Nr完全相同時才等價於p̂ (1 / R) Σr1Rp̂r11. 相鄰 sample 不獨立時若包含較強的低頻 noise相鄰 comparison 可能相關 實際有效樣本數會小於 clock cycle 數。定義輸出序列的 normalized autocorrelationρ[k]則有效樣本數可近似為Neff≈ N / [1 2Σk1∞ρ[k]]此時 probability uncertainty 應使用σp̂≈ √[p(1 - p) / Neff]所以N 104不一定表示有 104個獨立 noise samples。若低頻 noise 明顯多個不同 seed 的中等長度模擬 通常比單一 seed 無限制延長更容易判斷統計穩定性。12. Noise Fmin 與 Noise FmaxTransient-noise 模擬必須明確記錄 noise bandwidth[fmin, fmax]不同 noise bandwidth 得到的 σn不能直接比較。12.1 Noise Fmaxfmax太低可能漏掉高頻 thermal-noise contribution。fmax太高會增加simulation timestep requirementsimulation timememory usage。應使用 bandwidth convergence 驗證。先得到σn(fmax)再增加 fmaxfmax,2 fmax,1計算δBW |σn(fmax,2) - σn(fmax,1)| / σn(fmax,2)當δBW≤ εBW才可認為 fmax對目前精度要求已收斂。其中 εBW必須由設計者指定不能使用未說明的固定值。12.2 Noise Fminfmin會影響低頻 colored noiseflicker noise 的表示。較低頻的 noise 在短時間內通常表現得像VOS,eff(t) VOS vn,slow(t)也就是隨時間緩慢變化的 threshold drift。因此應分開定義σn,fast以及σn,slow概念上可寫為σn,fast2∝ ∫fsplitfmaxSn,in(f) dfσn,slow2∝ ∫fminfsplitSn,in(f) df但 dynamic comparator 是 clocked、time-varying circuit 實際 input-referred noise 不一定能由單純 LTI 積分完整描述 上式主要用於區分快速 noise 與慢速 drift。13. 低頻 noise 應量多久若要觀察最低頻率flow至少需滿足Tobs≳ 1 / flow但只觀察一個週期通常不足以做穩定統計。以下為工程設定建議而非唯一標準Tobs≈ K / flow其中K 1若希望觀察多個低頻週期可採K ≈ 510最終 K 必須由收斂結果決定。14. Fast noise 與 slow drift 應分開報告Fast cycle-to-cycle noise主要觀察每個 comparison 間的隨機判決差異σn,fast測量時必須固定fminfmaxdecision timenumber of seedssamples per seed。Slow threshold drift觀察V50(t)是否隨時間移動。可定義ΔV50(t) V50(t) - V̄50以及σV50,slow √{E[(V50(t) - V̄50)2]}Slow drift 通常需要和 offset calibration bandwidth 一起評估。15. Noise 與 ADC 解析度的關係對 N-bit ADC若差動 full-scale 為VFS,diff則LSBdiff VFS,diff/ 2N理想 quantization-noise RMS 為σq LSB / √12若 comparator noise 為σcmp定義其相對 quantization-noise powerα σcmp2/ σq2則因 comparator noise 增加造成的 SNR penalty 為ΔSNR 10log10(1 α)相對應的 ENOB loss 為ΔENOB 10log10(1 α) / 6.02也可寫成ΔENOB 1/2 log2(1 α)16. 由系統 noise budget 反推 comparator 規格若 ADC 總 input-referred noise budget 為σbudget且各項 noise 近似不相關σtotal2 σq2 σsamp2 σcmp2 σref2 σother2則 comparator 可用 noise budget 為σcmp,max √[ σbudget2- σq2- σsamp2- σref2- σother2]不能在其他 noise 項目未知時直接宣稱 comparator 應符合某個固定 mV 數值。若允許 comparator noise power 為 quantization noise power 的比例 η則σcmp2≤ ησq2因此σcmp≤ √η × LSB / √1217. Comparator error probability假設正確判決需要Vd VOS則錯誤機率為Pe P(vn VOS- Vd)得到Pe Q((Vd- VOS) / σn)其中Q(x) 1 / √(2π) ∫x∞e-u²/2du若只關心距離 threshold 的絕對 marginVmargin |Vd- VOS|則Pe Q(Vmargin/ σn)因此只報告 σn還不夠還需要知道實際 decision margin。18. Noise 與 metastability 不同Regenerative comparator 的 differential output 可概念化為Vout,diff(t) V0et/τ其中初始 differential voltageV0∝ Vd- VOS vn若要在 deadline tD前達到有效輸出幅度 VL需要|V0|etD/τ≥ VL因此tresolve τln(VL/ |V0|)當Vd- VOS vn→ 0則tresolve→ ∞這是 metastability不是單純 noise 數值變大。具 decision-enforcing 的 SAR 架構可在 comparator 未於 deadline 前完成時 強制產生合法 digital result但它不會降低 comparator 的 intrinsic σn 也不保證強制方向一定正確。19. 正確的量測流程階段一功能與極性確認關閉 noise確認reset 正常evaluation 正常輸出極性decision timing輸出可達合法 logic level。階段二單一 instance noise關閉 mismatch 或固定同一 mismatch instance掃描 Vd。每個 Vd重複 comparison。取得 P(D 1)。建立 CDF。求得 V50、V15.87、V84.13。計算 σn。階段三不同 seed固定所有條件只改變 noise realization確認σ̂n是否對單一 seed 過度敏感。階段四Noise-bandwidth convergence逐步增加fmax並固定fmin直到 σn收斂。階段五Offset Monte Carlo關閉 transient noise使用 mismatch Monte Carlo 取得μOSσOS這與單顆 comparator 的 σn分開報告。階段六PVT 與 PEX分別驗證process cornersupplytemperaturecommon modeschematicpost-layout extracted circuit。20. 如何判斷 noise 結果可信可信的結果至少應符合P(D 1 | Vd)隨 Vd單調增加或單調下降。遠離門檻時P(D 1) → 0或P(D 1) → 1增加樣本數後V50與σn應逐漸收斂。增加 fmax後σn不應持續大幅變動。不同 seed 的估計值應落在可解釋的統計範圍內。校正 offset 後通常應看到V50→ 0但不應預設σn→ 0因為 offset calibration 與 random-noise reduction 是不同問題。核心結論V50代表單一 comparator 的 input-referred offset。σn |V84.13- V15.87| / 2Tsim Tdiscard Nvalid/ fdecN ≥ z1-α/22/ (4εp2)Noise、offset、kickback 與 metastability 必須分開量測與報告。所需 noise 規格與測量時間必須由 ADC noise budget、 decision rate 與統計誤差反推。